| Назва: | Теорія металів Друде |
| Тип: | Реферати |
| Мова: | Українська |
| Розмiр: | 20,6 KB |
| Скачувань: | 13 |
Для того щоб визначити коефіцієнт теплопровідності і розрахувати його розглянемо металевий стержень , вздовж якого температура плавно змінюється. Якщо б на кінцях стержня не було джерел і витоків тепла, що підтримую градієнт температури, то його гарячий кінець охолоджувався б , а холодний - нагрівався б , тобто теплова енергія текла би в напрямку протилежному градієнту температури. Підводячи тепло до гарячого кінця з тією ж швидкість , з якою воно звідти виходить , можна встановити стаціонарний стан з градієнтом температури і постійним потоком теплової енергії. Ми визначимо густину потоку тепла jq , як вектор паралельний напрямку потоку тепла і рівний по абсолютній величині кількості теплової енергії, що перетинає за одиницю часу одиничну площадку перпендикулярну потоку. Для малих градієнтів температури потік тепла є пропорційним
ÑT : jq=-χÑT ( 41 )
Коефіцієнт пропорційності χ називають коефіцієнтом теплопровідності. Він додатній, оскільки напрям потоку тепла протилежний напрямку градієнта температури.
В якості конкретного прикладу розглянемо випадок, коли існує постійний перепад температур в додатному напрямку по осі х . Тоді в стаціонарному стані потік тепла напрямлений також в напрямку х і має абсолютну величину jq=-χ¶T/¶x. Для того, щоб розрахувати цей тепловий потік, зауважимо, що швидкість електрона після кожного зіткнення відповідає локальній температурі : чим вища температура в місці зіткнення , тим більшою енергією володіє цей електрон. Отже , навіть якщо середнє значення швидкості електронів в будь - якій точці буде дорівнювати нулю, то при таких умовах буде існувати сумарний тепловий потік, напрямлений в сторону області з більш низькою температурою. (див. мал)
Висока температура Низька температура
Схематичне зображення відношення між градієнтом температури і потоком тепла.
Це пояснюється тим, що електрони, які переміщаються в дану область з високою температурою, мають більш високі енергії, ніж електрони, які приходять з області з низькою температурою.
Для того, щоб отримати на основі цієї картини кількісну оцінку теплопровідності, спочатку розглянемо спрощену одновимірну модель, в якій електрони здатні рухатись лише вздовж осі х , так , що в точку х половина електронів приходить з тої сторони , де температура вища, а половина - де температура нижча. Якщо ε(T) - теплова енергія , що припадає на один електрон в металі , який знаходиться в рівновазі при температурі Т , то електрон останнє зіткнення якого відбулось в точці x', в середньому має теплову енергію ε(T[x']). Електрони, що приходять в точку х з тої сторони, де температура вища, відчули останнє зіткнення в середньому в точці x+vτ і тому несуть в розрахунку на один електрон теплову енергію ε(T[x-vτ]). Тому їх внесок в густину теплового потоку рівний добутку числа таких електронів в одиниці об'єму π/2 на їх швидкість v і на їх енергію , тобто (π/2)v ε(T[x-vτ]).. Електрони, що прибувають в точку х з тої сторони, де температура нижча дають внесок (π/2)(-v)ε(T[x-vτ])., оскільки рухаються від великих значень х в напрямку менших. Складання двох цих членів дає вираз:
Jq=½nv[ε(T[x-vτ])]-ε(T[x-vτ]) (42)
якщо зміна температури на відстані довжини вільного пробігу l=vτ дуже мала, то можна розкласти отриманий вираз в ряд поблизу точки х, тоді в лінійному наближенні отримаємо:
j4=nv2τ(dε/dt)(-dT/dx) (43)
Щоб перейти в цій формулі до трьохвимірного випадку, необхідно тільки замінити v на vx - проекцією швидкості електрона в напрямку х - і привести усереднення по всіх можливим напрямкам швидкості. Оскільки
‹v2x›=‹v2y›=‹v2z›=v2/3
і
ndε/dT=(N/V)( dε/dT )= ( dE/dT )/V=Cv
де Cv - електронна питома теплоємність, тоді маємо:
j4=(1/3) v2τ Cv(-▼T) (44)
або
χ=(1/3) v2τ Cv =(1/3) lv Cv (45)
де v2 - середній квадрат швидкості електрона.
Виходячи із формули (1.51) і поділивши коефіцієнт електропровідності σ=ne2τ/m можна отримати ще один вираз:
χ/σ=(1/3)Cv mv2 /ne2 (46)
Відповідно, що при розрахунках електронної питомої теплоємності і середньоквадратичної швидкості Друде скористався законами класичного ідеального газу. Тому він фактично сказав, що теплоємність
Cv=(3/2)nkB , a (1/2)mv2 =(3/2)kBT
де kB - стала Больцмана. kB=1,38•10-16ерг/К.
В результаті отримаємо:
χ/σ=(3/2)(kB/l)2 T (47)
Величина в правій частині рівності (47) залежить лише від фундаментальних сталих kB і l і пропорційна Т в повній відповідності із законом Відемана - Франца.
ÑT : jq=-χÑT ( 41 )
Коефіцієнт пропорційності χ називають коефіцієнтом теплопровідності. Він додатній, оскільки напрям потоку тепла протилежний напрямку градієнта температури.
В якості конкретного прикладу розглянемо випадок, коли існує постійний перепад температур в додатному напрямку по осі х . Тоді в стаціонарному стані потік тепла напрямлений також в напрямку х і має абсолютну величину jq=-χ¶T/¶x. Для того, щоб розрахувати цей тепловий потік, зауважимо, що швидкість електрона після кожного зіткнення відповідає локальній температурі : чим вища температура в місці зіткнення , тим більшою енергією володіє цей електрон. Отже , навіть якщо середнє значення швидкості електронів в будь - якій точці буде дорівнювати нулю, то при таких умовах буде існувати сумарний тепловий потік, напрямлений в сторону області з більш низькою температурою. (див. мал)
Висока температура Низька температура
Схематичне зображення відношення між градієнтом температури і потоком тепла.
Це пояснюється тим, що електрони, які переміщаються в дану область з високою температурою, мають більш високі енергії, ніж електрони, які приходять з області з низькою температурою.
Для того, щоб отримати на основі цієї картини кількісну оцінку теплопровідності, спочатку розглянемо спрощену одновимірну модель, в якій електрони здатні рухатись лише вздовж осі х , так , що в точку х половина електронів приходить з тої сторони , де температура вища, а половина - де температура нижча. Якщо ε(T) - теплова енергія , що припадає на один електрон в металі , який знаходиться в рівновазі при температурі Т , то електрон останнє зіткнення якого відбулось в точці x', в середньому має теплову енергію ε(T[x']). Електрони, що приходять в точку х з тої сторони, де температура вища, відчули останнє зіткнення в середньому в точці x+vτ і тому несуть в розрахунку на один електрон теплову енергію ε(T[x-vτ]). Тому їх внесок в густину теплового потоку рівний добутку числа таких електронів в одиниці об'єму π/2 на їх швидкість v і на їх енергію , тобто (π/2)v ε(T[x-vτ]).. Електрони, що прибувають в точку х з тої сторони, де температура нижча дають внесок (π/2)(-v)ε(T[x-vτ])., оскільки рухаються від великих значень х в напрямку менших. Складання двох цих членів дає вираз:
Jq=½nv[ε(T[x-vτ])]-ε(T[x-vτ]) (42)
якщо зміна температури на відстані довжини вільного пробігу l=vτ дуже мала, то можна розкласти отриманий вираз в ряд поблизу точки х, тоді в лінійному наближенні отримаємо:
j4=nv2τ(dε/dt)(-dT/dx) (43)
Щоб перейти в цій формулі до трьохвимірного випадку, необхідно тільки замінити v на vx - проекцією швидкості електрона в напрямку х - і привести усереднення по всіх можливим напрямкам швидкості. Оскільки
‹v2x›=‹v2y›=‹v2z›=v2/3
і
ndε/dT=(N/V)( dε/dT )= ( dE/dT )/V=Cv
де Cv - електронна питома теплоємність, тоді маємо:
j4=(1/3) v2τ Cv(-▼T) (44)
або
χ=(1/3) v2τ Cv =(1/3) lv Cv (45)
де v2 - середній квадрат швидкості електрона.
Виходячи із формули (1.51) і поділивши коефіцієнт електропровідності σ=ne2τ/m можна отримати ще один вираз:
χ/σ=(1/3)Cv mv2 /ne2 (46)
Відповідно, що при розрахунках електронної питомої теплоємності і середньоквадратичної швидкості Друде скористався законами класичного ідеального газу. Тому він фактично сказав, що теплоємність
Cv=(3/2)nkB , a (1/2)mv2 =(3/2)kBT
де kB - стала Больцмана. kB=1,38•10-16ерг/К.
В результаті отримаємо:
χ/σ=(3/2)(kB/l)2 T (47)
Величина в правій частині рівності (47) залежить лише від фундаментальних сталих kB і l і пропорційна Т в повній відповідності із законом Відемана - Франца.