1 2 3

Матриці. Загальна інформація

Основні означення

Прямокутна таблиця чисел aij = 1, 2, .... m; j= 1, 2, ..., n, скла¬дена з m рядків та n стовпців і записана у вигляді

або

називається матрицею. Поняття матриці вперше ввели англійські математики У. Гамільтон і Д. Келі. Коротко матрицю позначають так:

або

де aij - елементи матриці, причому індекс і в елементі aij означає но¬мер рядка, aj- номер стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент.

Добуток числа рядків m на число стовпців n називають розміром матриці і позначають m X n. Якщо хочуть вказати розмір m X n мат¬риці А, то пишуть Аmn.

Матриця, в якої число рядків дорівнює числу стовпців, назива¬ється квадратною. Кількість рядків (стовпців) квадратної матриці називається її порядком. Матриця, у якої всього один рядок, назива¬ється матрицею-рядком, а матриця, у якої всього один стовпець,- матрицею-стовпцем. Дві матриці Аmn=(aij) та Вmn= (bij) нази¬ваються рівними, якщо вони однакових розмірів і мають рівні відпо¬відні елементи: аij = bij. Нульовою називається матриця, у якої всі елементи дорівнюють нулю. Позначається така матриця буквою О. Як і в визначниках (п. 1.1), в квадратних матрицях виділяють головну і побічну діагональ.

Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елемен¬ти, крім тих, що знаходяться на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі дорів¬нює одиниці, називається одиничною і позначається буквою Е. На¬приклад, одинична матриця третього порядку має вигляд

Будь-якій квадратній матриці

можна поставити у відповідність певне число, яке називається ви¬значником (детермінантом) цієї матриці і позначається символом det А. За означенням

det A=

Наприклад, якщо

то det

Прямокутна матриця розміром т X п (п ф пі) визначника не має.

Дії над матрицями

1°. Операція додавання матриць вводиться тільки для матриць однакового розміру. Сумою С = А + В двох матриць Аmn - (aij) і Вmn = (bij) називається матриця Сmn= (cij)=(aij+bij). На¬приклад,

2°. Добутком матриці Аmn = (aij) на число k (або числа k на матрицю Amn) називається матриця Вmn= (kaij). Наприклад,

3°. Різниця матриць А - В визначається як сума матриці А і мат¬риці В, помноженої на - 1:

Справедливі такі властивості операцій:

а) А - В = В + А - комутативність відносно додавання мат¬риць;

б) А + (В + С) - (А + В)+С - асоціативність відносно до¬давання матриць;

в) А + О - А; А - А = О - роль нульової матриці в діях над матрицями така, як і числа нуль в діях над числами;

г) (βA) = (β) А - асоціативність відносно множення чисел;

д) (А + В) = А +В - дистрибутивність множення на чис¬ло відносно додавання матриць;

е) ( + β) А - А + βА - дистрибутивність множення на мат¬рицю відносно додавання чисел.

4°. Операція множення двох матриць вводиться лише для узго¬джених матриць. Матриця А називається узгодженою з матрицею В, якщо кількість стовпців першої матриці А дорівнює кількості рядків другої матриці В.

Якщо ця умова не виконується, тобто матриці неузгоджені, то множення таких матриць неможливе.

З узгодженості матриці А з В не випливає, взагалі кажучи, узго¬дженість матриці В з А.

Квадратні матриці одного порядку взаємно узгоджені.

Добутком С = А В матриці Аmn - (аij) на матрицю Bnk=(bij) називається така матриця, у якої елемент сij дорівнює сумі добутків елементів j-го рядка матриці А на відповідні елементи четвертого стовпця матриці В:

cij=ai1b1j+ai2b2j+ … + ainbnj; C = Cmk = (cij),

i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, k.

Це означення називають правилом множення рядка на стовпець. На¬приклад, щоб визначити елемент с24, що стоїть в другому рядку і чет¬вертому стовпці матриці С = АВ, потрібно знайти суму»добутків еле¬ментів другого рядка матриці А на відповідні елементи четвертого стовпця матриці В.

Для дій 1°-4° над матрицями виконуються такі властивості (за умови, що вказані операції мають зміст):

а) (АВ) С = А (ВС); б) (А) В = А (В) = (АВ);

в) (A + В) С = AС + BС; г) С (A + В) = СA + СB;

д) A • О = О • А = О; е) АЕ = ЕА = A; е) det (A5) = det А X det 5.

Обернена матриця

Нехай А - квадратна матриця. Матриця A-1 називається обер¬неною до матриці А, якщо виконується умова

А А-1 = А-1А = Е.

Квадратна матриця А називається виродженою, якщо det А=0, і невиродженою, якщо det А ≠0.

Теорема 3. Для існування оберненої матриці А-1 необхідно і до¬статньо, щоб матриця А була невиродженою.

О Необхідність. Нехай обернена матриця A-1 існує, тоді AA-1= Е. Застосовуючи правило знаходження визначника добутку двох матриць, маємо det A • det A-1 = 1, тому det А ≠ 0.

Достатність. Нехай det А ≠0, тоді матриця A має обернену матрицю А-1 причому

, ()

де Аij - алгебраїчні доповнення елементів аij визначника матриці

()

1 2 3