| Назва: | Інтегровані типи д-р 1-го порядку, розвязаних відносно похідної |
| Тип: | Реферати |
| Мова: | Українська |
| Розмiр: | 5,69 KB |
| Скачувань: | 6 |
Інтегровані типи д-р 1-го порядку, розвязаних відносно похідної
а). Неповні р-ня. ДР, яке не містить шуканої функції.
Має вигляд
, (2.33)
Припустимо, що f(x) являється неперервною на функцією.
Тоді ф-я
(2.34)
являэться загальним розв`язком д-р (1) в області a < x < b, -< y < + .(2.35)
Особливих розвязків ДР (2.33) немає.
Разом з ДР (2.33) розглянемо початкові умови (2.36)
Проінтегруємо ДР (2.34) від до x
Знаходимо с з умови (2.36)
(2.37) - загальний розвязок ДР (2.33) в формі Коші.
Якщо f(x) - неперервна на за виключенням точки , в якій приймає нескінченне значення, то замість ДР (2.34) будемо розглядати р-ня
(2.331)
Пряма являється розвязком ДР (2.331) і ми цей розвязок повинні приєднати до розвязку ДР (2.33). Цей розвязок може бути частинним або особливим в залежності від того зберігається чи порушується в будь-якій його точці єдність. Якщо - частинний розвязок, то його часто можна отримати з загального при нескінченних заначеннях с, якщо ж він являється особливим, то його отримують з загального при .
Р-ня, яке не містить незалежної змінної має вигляд
(2.38)
Припускаємо, що ф-я визначена і неперевна на інтервалі . Замість (2.38) розглянемо ДР
(2.39)
ДР (2.39) не містить шуканої функції і воно розвязується аналогічно ДР (2.33).
Якщо , y є (c,d), то
(2.40) - загальний рохвязок ДР (2.39) в області
c < y < d, -< x < + .
Аналогічно (2.41) - загальний інтеграл в формі Коші.
Якщо неперервна на (c,d) і приймає нульове значення при , то ми повинні розглядаті ДР (2.38). Розвязок буде частинним, якщо в кожній його точці зберігається єдиність, і осоюливим, якщо в кожній його точці порушується єдиність. Якщо частинний розвязок, то ми його отримуємо при нескінченних значеннях , якщо особливий, то при .
Якщо в тоцчі перетворюється в нескінченність , то розглянемо ДР (2.39), яке має неперервну праву частину на (c,d). При цьому ДР на має єдиний розвязок .
Пр. 2.5
Розглянемо ДР .
Область визначення : .
Поскільки в т. дотичні паралельні осі OY, то розвязок в єдиний , .
б) Рівняння з відокремлюванними змінними.
Розглянемо р-ня в диференціалах виду
(2.42),
де - неперервні ф-ї своїх аргументів.
Деференціальне р-ня (2.42) називається р-ням з відокремленими змінними. Його можна переписати данним чином . Звідки маємо загальний розвязок в квадратурах. (2.43).
Якщо треба записати розвязок задачі Коші, то записують так . З умови (2.36) визначають . Отже (2.44) - розвязок задачі Коші (2.36), (2.42). При данних припущеннях особливих розвязків ДР (4.42) не має.
Рівняння вигляду
(2.45) -
називають р-ням з відокремлюваними змінними.
Припустимо, що , тоді розділемо обидві частини рівняння (2.45) на , отримуємо
(2.46).
Аналогічно записуємо
(2.47) -
загальний розвязок ДР (2.45) і
(2.48) -
розвязок задачі Коші (2.36) , (2.45). При діленні на ми можемо загубити розвязки, які визначаються рівняннями ,. Дійсно, нехай , то
отже - розвязок ДР (2.45).
Аналогічно .
Якщо ці розвязки не входять в (2,47) при деяких , то вони представляють собою особливі розвязки ДР (2.45).
З розвязку ми повинні викинути точку , так як в точці ДР (2.45) не визначає нахил поля . По тій же причині з розвязку викидають точку .
Таким чином розвязки і примикають до точки і можуть бути особливими. Других особливих розвязків не має.
Пр. 2.6.
Знайти загальний розвязок ДР:
.
Розвязок:
. .
.
.
.
.
в). Однорідні і узагальнено-однорідні ДР.
Розглянемо р-ня в диференціалах
(2.5),
в якому ф-ії і являються однорідними функціями одніеї і тієї ж степені однорідності.
Означення 2.4: ф-я називаеться однорідною степеню ,
якщо (2.49).
Якщо (2.49) виконуються при , то ф-я називаеться додатню-однорідною.
Однорідне р-ня завжди можна звести до рівняння вигляду
(2.50),
в якому функція однорідна функція нулбового виміру.
Однорідні рівняння завжди інтегруються в квадратурах заміною (2.51). При цьому р-ня (2.5) приводиться до рівняння з відокремлюваними змінними. Дійсно
,
,
,
,
,
,
(2.52), де .
При діленні ми могли загубити розвязок , де - корені рівняння (2.53).
Отже півпрямі примикають до початку координат. Ці розвязки можуть міститися в формулі загального розвязку, але можуть бути і особливими. Особливими можуть бути також півосі осі . Других особливих розвязків ДР (2.5) не має.
Рівняння вигляду(2.54) зводиться до однорідного. Якщо , то це однорідне рівняння.
Припустимо, що хоч одне з чисел не дорівнюють 0. Можливі два випадки:
Перший) Проводимо заміну (2.55), де - нові змінні, - параметри. Тоді (2.56).
Параметри вибираємо згідно системи (2.57). Так як то система (2.57) має єдиний розвязок. Таким чином, ми прийшли до однорідного ДР (2.58).
Другий) . В цьому випадку , тобто . Тому (2.59)
Заміною ДР (2.59) приводимо до рівняння з відокремленими змінними (2.60).
Пр 2.7 Знайти загальний розвязок ДР
Це однорідне рівняння, . Зробимо заміну ,
а). Неповні р-ня. ДР, яке не містить шуканої функції.
Має вигляд
, (2.33)
Припустимо, що f(x) являється неперервною на функцією.
Тоді ф-я
(2.34)
являэться загальним розв`язком д-р (1) в області a < x < b, -< y < + .(2.35)
Особливих розвязків ДР (2.33) немає.
Разом з ДР (2.33) розглянемо початкові умови (2.36)
Проінтегруємо ДР (2.34) від до x
Знаходимо с з умови (2.36)
(2.37) - загальний розвязок ДР (2.33) в формі Коші.
Якщо f(x) - неперервна на за виключенням точки , в якій приймає нескінченне значення, то замість ДР (2.34) будемо розглядати р-ня
(2.331)
Пряма являється розвязком ДР (2.331) і ми цей розвязок повинні приєднати до розвязку ДР (2.33). Цей розвязок може бути частинним або особливим в залежності від того зберігається чи порушується в будь-якій його точці єдність. Якщо - частинний розвязок, то його часто можна отримати з загального при нескінченних заначеннях с, якщо ж він являється особливим, то його отримують з загального при .
Р-ня, яке не містить незалежної змінної має вигляд
(2.38)
Припускаємо, що ф-я визначена і неперевна на інтервалі . Замість (2.38) розглянемо ДР
(2.39)
ДР (2.39) не містить шуканої функції і воно розвязується аналогічно ДР (2.33).
Якщо , y є (c,d), то
(2.40) - загальний рохвязок ДР (2.39) в області
c < y < d, -< x < + .
Аналогічно (2.41) - загальний інтеграл в формі Коші.
Якщо неперервна на (c,d) і приймає нульове значення при , то ми повинні розглядаті ДР (2.38). Розвязок буде частинним, якщо в кожній його точці зберігається єдиність, і осоюливим, якщо в кожній його точці порушується єдиність. Якщо частинний розвязок, то ми його отримуємо при нескінченних значеннях , якщо особливий, то при .
Якщо в тоцчі перетворюється в нескінченність , то розглянемо ДР (2.39), яке має неперервну праву частину на (c,d). При цьому ДР на має єдиний розвязок .
Пр. 2.5
Розглянемо ДР .
Область визначення : .
Поскільки в т. дотичні паралельні осі OY, то розвязок в єдиний , .
б) Рівняння з відокремлюванними змінними.
Розглянемо р-ня в диференціалах виду
(2.42),
де - неперервні ф-ї своїх аргументів.
Деференціальне р-ня (2.42) називається р-ням з відокремленими змінними. Його можна переписати данним чином . Звідки маємо загальний розвязок в квадратурах. (2.43).
Якщо треба записати розвязок задачі Коші, то записують так . З умови (2.36) визначають . Отже (2.44) - розвязок задачі Коші (2.36), (2.42). При данних припущеннях особливих розвязків ДР (4.42) не має.
Рівняння вигляду
(2.45) -
називають р-ням з відокремлюваними змінними.
Припустимо, що , тоді розділемо обидві частини рівняння (2.45) на , отримуємо
(2.46).
Аналогічно записуємо
(2.47) -
загальний розвязок ДР (2.45) і
(2.48) -
розвязок задачі Коші (2.36) , (2.45). При діленні на ми можемо загубити розвязки, які визначаються рівняннями ,. Дійсно, нехай , то
отже - розвязок ДР (2.45).
Аналогічно .
Якщо ці розвязки не входять в (2,47) при деяких , то вони представляють собою особливі розвязки ДР (2.45).
З розвязку ми повинні викинути точку , так як в точці ДР (2.45) не визначає нахил поля . По тій же причині з розвязку викидають точку .
Таким чином розвязки і примикають до точки і можуть бути особливими. Других особливих розвязків не має.
Пр. 2.6.
Знайти загальний розвязок ДР:
.
Розвязок:
. .
.
.
.
.
в). Однорідні і узагальнено-однорідні ДР.
Розглянемо р-ня в диференціалах
(2.5),
в якому ф-ії і являються однорідними функціями одніеї і тієї ж степені однорідності.
Означення 2.4: ф-я називаеться однорідною степеню ,
якщо (2.49).
Якщо (2.49) виконуються при , то ф-я називаеться додатню-однорідною.
Однорідне р-ня завжди можна звести до рівняння вигляду
(2.50),
в якому функція однорідна функція нулбового виміру.
Однорідні рівняння завжди інтегруються в квадратурах заміною (2.51). При цьому р-ня (2.5) приводиться до рівняння з відокремлюваними змінними. Дійсно
,
,
,
,
,
,
(2.52), де .
При діленні ми могли загубити розвязок , де - корені рівняння (2.53).
Отже півпрямі примикають до початку координат. Ці розвязки можуть міститися в формулі загального розвязку, але можуть бути і особливими. Особливими можуть бути також півосі осі . Других особливих розвязків ДР (2.5) не має.
Рівняння вигляду(2.54) зводиться до однорідного. Якщо , то це однорідне рівняння.
Припустимо, що хоч одне з чисел не дорівнюють 0. Можливі два випадки:
Перший) Проводимо заміну (2.55), де - нові змінні, - параметри. Тоді (2.56).
Параметри вибираємо згідно системи (2.57). Так як то система (2.57) має єдиний розвязок. Таким чином, ми прийшли до однорідного ДР (2.58).
Другий) . В цьому випадку , тобто . Тому (2.59)
Заміною ДР (2.59) приводимо до рівняння з відокремленими змінними (2.60).
Пр 2.7 Знайти загальний розвязок ДР
Це однорідне рівняння, . Зробимо заміну ,