| Назва: | Інваріантність |
| Тип: | Реферати |
| Мова: | Українська |
| Розмiр: | 6,53 KB |
| Скачувань: | 5 |
Інваріантність
Вище ми розглянули деякі системи координат і їх зв'язок між собою, припускаюся, що простір являється евклідовим. Наскільки евклідова геометрія може бути справедлива для фізичних явищ, можна судити тільки з експериментальних даних. На сьогодні по крайній мірі для класичної механіки в області простору з характерними розмірами L з інтервалу
10-13см<
а) Інваріантність по відношенню до паралельного переносу. Під цим розуміється, що простір однорідний і не змінюється від точки до точки при такому русі. Іншими словами. якщо тіла переміщуються без повороту, то їхні властивості не змінюються.
б) Інваріантність по відношенню до повороту. Із досліду відомо з великою точністю, що простір являється ізотропним, так що всі напрямки еквівалентні і фізичні тіла не змінюються при повороті. На малюнку 1.5 проілюстровані зазначені інваріантності і приведено приклади неінваріантності в гіпотетичному світі, в якому при цих рухах можуть зокрема, змінюватись форма і розміри тіл.
Нижче інваріантності зумовлюють фундаментальні закони збереження.
Залишаючись в такому інваріантному по відношенню до паралельного переносу і повороту світі розглянемо в якому інерціальні системи, які рухаються одна відносно іншої без прискорення (в тому числі і без нормального; тобто ). Заради простоти допустимо, що система В рухається з постійною швидкістю відносно системи А так, що осі х і х' лежать на одній прямій і напрямлені однаково, і крім того в момент часу початки координат обидвох систем співпадають (мал. 1.6).
Тоді, якщо в момент часу t якась точка М має координати х', у', t' в системі В, то її координати в системі А будуть:
(1.25)
Перше рівняння (1.25) не містить t', бо в класичній механіці вважаються, що час абсолютний, тобто t=t'.
Формули (1.25) носять назву перетворення Галілея для координат. Із перетворення Галілея слідує закон додавання швидкостей і правило перетворень для прискорень:
(1.26) (1.27)
Ми бачимо, що при перетворенні координат завжди можна вказати таки фізичні величини, які залишаються незмінними (інваріантними) при такому перетворенні. Такі величини називаються інваріантами. Наприклад, при перетвореннях Галілея, координати, швидкість (а значить імпульс і кінетична енергія і т.п.) - є варінтні, а прискорення, і час - інваріантні. В цьому контексті розглянемо, що буде творитися із законами збереження імпульсу і енергії як кінетичної так і повної.
Якщо рух деякої системи тіл (частинок) розглядаємо відносно інерціальної системи відліку А, то при переході до іншої інерціальної системи В зміниться кількість руху і кінетична енергія (бо вони є варіантні): якщо через - позначити швидкість в системі А1, а через - в системі В однієї частинки, то
(1.28)
Із співвідношень (1.25) - (1.26) чітко також слідує, що прискорення - інваріант, а також і сили - інваріантні. ???? також слідує з того, що всі механічні сили залежать від відносного розташування тіл або їх відносних швидкостей. І те і інше - інваріанти. Таким чином, всі три закони ньоютонівської динаміки справедливі у всіх інерціальних системах відліку.
§ 4. Чотирьохвектор і інтервал. Простір Міньковського.
Нагадаємо із курсу загальної фізики, що в релятивістській ( не Ньютонівській) механіці, коли швидкістю руху тіл не можна не можна знехтувати порівняно з швидкістю світла, яка згідно ІІ постулату Ейнштейна одинакова у всіх інерціальних системах відліку, справедливі перетворення не Галілея, а Лоренцо (мал. 1.6)
(1.29) (1.30)
Ми бачимо, що при перетвореннях Лоренцо змінюються і координати і час. Причому останні характеристики невіддільні одна від одної є відносними. Але і в релятивістській механіці можна знайти такі величини, співвідношення, які є інваріантними в довільній інерціальній системі відліку.
Першим таким інваріантом є швидкість світла. Нетрудно переконатися із співвідношень (1.29), що другим важливим інваріантом є інтервал події. Його квадрат визначається як:
Отже: (1.31)
Інваріантами, як ми уже також знаємо, з курсу загальної фізики є маса спокою і енергія спокою.
Із останнього співвідношення випливає, що коли кількість руху К в одній інерціальній системі не залежить від часу то вона залишається постійною і в іншій системі відліку К', поскільки m і константи. Тобто, закон інерції справедливий в усіх інерціальних системах відліку.
Кінетична енергія системи частинок в системі xOy буде:
Вище ми розглянули деякі системи координат і їх зв'язок між собою, припускаюся, що простір являється евклідовим. Наскільки евклідова геометрія може бути справедлива для фізичних явищ, можна судити тільки з експериментальних даних. На сьогодні по крайній мірі для класичної механіки в області простору з характерними розмірами L з інтервалу
10-13см<
а) Інваріантність по відношенню до паралельного переносу. Під цим розуміється, що простір однорідний і не змінюється від точки до точки при такому русі. Іншими словами. якщо тіла переміщуються без повороту, то їхні властивості не змінюються.
б) Інваріантність по відношенню до повороту. Із досліду відомо з великою точністю, що простір являється ізотропним, так що всі напрямки еквівалентні і фізичні тіла не змінюються при повороті. На малюнку 1.5 проілюстровані зазначені інваріантності і приведено приклади неінваріантності в гіпотетичному світі, в якому при цих рухах можуть зокрема, змінюватись форма і розміри тіл.
Нижче інваріантності зумовлюють фундаментальні закони збереження.
Залишаючись в такому інваріантному по відношенню до паралельного переносу і повороту світі розглянемо в якому інерціальні системи, які рухаються одна відносно іншої без прискорення (в тому числі і без нормального; тобто ). Заради простоти допустимо, що система В рухається з постійною швидкістю відносно системи А так, що осі х і х' лежать на одній прямій і напрямлені однаково, і крім того в момент часу початки координат обидвох систем співпадають (мал. 1.6).
Тоді, якщо в момент часу t якась точка М має координати х', у', t' в системі В, то її координати в системі А будуть:
(1.25)
Перше рівняння (1.25) не містить t', бо в класичній механіці вважаються, що час абсолютний, тобто t=t'.
Формули (1.25) носять назву перетворення Галілея для координат. Із перетворення Галілея слідує закон додавання швидкостей і правило перетворень для прискорень:
(1.26) (1.27)
Ми бачимо, що при перетворенні координат завжди можна вказати таки фізичні величини, які залишаються незмінними (інваріантними) при такому перетворенні. Такі величини називаються інваріантами. Наприклад, при перетвореннях Галілея, координати, швидкість (а значить імпульс і кінетична енергія і т.п.) - є варінтні, а прискорення, і час - інваріантні. В цьому контексті розглянемо, що буде творитися із законами збереження імпульсу і енергії як кінетичної так і повної.
Якщо рух деякої системи тіл (частинок) розглядаємо відносно інерціальної системи відліку А, то при переході до іншої інерціальної системи В зміниться кількість руху і кінетична енергія (бо вони є варіантні): якщо через - позначити швидкість в системі А1, а через - в системі В однієї частинки, то
(1.28)
Із співвідношень (1.25) - (1.26) чітко також слідує, що прискорення - інваріант, а також і сили - інваріантні. ???? також слідує з того, що всі механічні сили залежать від відносного розташування тіл або їх відносних швидкостей. І те і інше - інваріанти. Таким чином, всі три закони ньоютонівської динаміки справедливі у всіх інерціальних системах відліку.
§ 4. Чотирьохвектор і інтервал. Простір Міньковського.
Нагадаємо із курсу загальної фізики, що в релятивістській ( не Ньютонівській) механіці, коли швидкістю руху тіл не можна не можна знехтувати порівняно з швидкістю світла, яка згідно ІІ постулату Ейнштейна одинакова у всіх інерціальних системах відліку, справедливі перетворення не Галілея, а Лоренцо (мал. 1.6)
(1.29) (1.30)
Ми бачимо, що при перетвореннях Лоренцо змінюються і координати і час. Причому останні характеристики невіддільні одна від одної є відносними. Але і в релятивістській механіці можна знайти такі величини, співвідношення, які є інваріантними в довільній інерціальній системі відліку.
Першим таким інваріантом є швидкість світла. Нетрудно переконатися із співвідношень (1.29), що другим важливим інваріантом є інтервал події. Його квадрат визначається як:
Отже: (1.31)
Інваріантами, як ми уже також знаємо, з курсу загальної фізики є маса спокою і енергія спокою.
Із останнього співвідношення випливає, що коли кількість руху К в одній інерціальній системі не залежить від часу то вона залишається постійною і в іншій системі відліку К', поскільки m і константи. Тобто, закон інерції справедливий в усіх інерціальних системах відліку.
Кінетична енергія системи частинок в системі xOy буде: